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天天听到“量子力学”,但你真的理解它吗?

在最近一些年,量子信息的研究得到了很多发展。量子信息指利用量子力学的基本原理进行信息处理,包括量子通信、量子计算,等等。量子通信又包括量子密码、量子隐形传态,等等。量子隐形传态和量子计算都基于量子纠缠。而量子纠缠是量子力学中的一个基本概念。为了了解量子信息,我们需要先了解量子力学。

听到“量子力学”这四个字就想跑?别跑,科学人带你慢慢梳理。图片来源:strangenotions.com

经典物理中的几率

为了解释什么是量子力学,我们先从经典物理说起。

经典物理包括以牛顿三大定律为核心的牛顿力学(或称经典力学),以及以麦克斯韦方程组为核心的经典电动力学(或称电磁学)。 对于速度接近光速,以及强引力场情况,还要考虑狭义及广义相对论,但是相对于量子力学而言,它们仍然属于经典物理的范畴。

在经典物理中,每个物理量,比如位置、动量、角动量、电场强度、电流,等等,在每个时刻都有明确的取值,都是一个客观实在。而它们随时间变化的情况就是动力学,由牛顿力学及经典电动力学的基本定律决定。只要知道某个时刻的物理量的值,就可以从动力学得到其它任意时刻的取值。 因此本质上经典物理是决定论的。

经典物理里也有几率,或称概率,但这是一种粗粒化描述。在我们不了解或者无法控制细节时,考虑各种可能性,从而得到一个几率分布。比如掷骰子。

骰子的运动其实是一个决定论的过程,没有本质上的随机性。如果了解它的力学细节,比如质量分布、初始位置、方位、速度、整个下落过程中的受力情况等等,其实是可以预言最后哪一面朝上的。当然,在实际中一般做不到这一点。而如果对于各种细节情况作个平均,我们就可以预言:“如果投掷N次,其中每一面朝上的次数大约N/6次”。也就是说,每一面朝上的几率大概是1/6。

不过我们也经常有这样的情况:即细节描述不但不可能,而且没有必要,而几率描述更抓住问题的本质。

比如一团气体在给定温度下,各种微观状态有一个几率分布,由此可以得到给定温度下的宏观性质,比如平均总能量、压强等等。这就是统计物理。

基于经典力学的经典统计物理中的几率抓住了问题的本质,但这种几率和骰子类似,不是实质性的,也就是说,微观细节仍然是服从经典物理的决定论过程。

那么,什么样的几率是实质性的,也就是说背后没有决定论的过程?答案就是量子力学中的几率。

量子力学中的几率

量子力学的中心概念是量子态。而根据量子态,我们可以计算出各种几率分布。下面我们将了解到,量子态比几率分布的涵义还要多。

注意:量子态不是一个物理量,而是一个描述,由此决定出各相关物理量被测量后的各种取值的几率,从而可以计算出每个相关物理量的期望值,或称平均值。而一旦作了某个物理量的测量,就得到这些可能值中的一个。同时,量子态也相应地更新为一个新的量子态,在这个量子态上,刚测得的物理量取值的几率为1。

举一个例子。光有个性质叫偏振,代表了电场振动方向,它总是位于与传播方向垂直的平面上。如果偏振方向沿着这个平面上的一个特定方向,这种光就是线偏振光。如果偏振方向在这个平面上旋转,这种光就是圆偏振光。

不同的光可以混合成非偏振或者部分偏振光。而非偏振的自然光透过偏振片,可以产生偏振方向沿着透光轴的线偏振光。如果让线偏振光垂直入射一个偏振片,它透过的强度是原来强度的θ, 即 (cosθ) * (cosθ),其中θ是光入射前的线偏振方向与偏振片透光轴方向的夹角,“*”代表相乘。

光是由光子组成的,光子服从量子力学。那么现在我们来考虑这种沿θ方向线偏振的单个的光子。它透过偏振片的几率就是θ。

这里就要解释几率的涵义了。如果有N个(N很大)同样的这种光子分别入射到这个偏振片上,也就是说,重复N次相同的过程,那么有N*θ个光子透射过去。

但是,对于每一个光子来说,我们却无法预测它究竟能否透射过去,完全不能。所以我说量子力学的几率是实质性的。

量子态

量子力学有一套理论框架描述这些性质。光子的偏振由一个量子态描述。我们可以把它记为|ψ>。它在数学上是一种矢量。

我们知道,空间中的矢量,比如位置,由几个坐标(或者叫分量)确定。任意一个矢量都可以分解为几个互相正交的基本矢量。它们平行或反平行于坐标轴,长度大小就是坐标的绝对值,方向由坐标的符号代表。它们称作基矢。

与之类似,量子态这种矢量也可以分解为几个互相正交的基矢,它们称为基矢态。这里的矢量不是在我们所生活的空间,而是在一个抽象的数学空间里,称作矢量空间。它是这个量子系统的所有可能的量子态的集合,服从一定的运算规则。这些矢量的正交也有它的定义。

在我们生活的空间里,坐标的选择是任意的。与之类似,对于一个量子态来说,选择哪一套基矢态来展开或者分解也是任意的。但是为了计算某个测量的几率,选择与这个测量对应的基矢态比较方便。光子透过偏振片可以看作一个测量过程,如果偏振方向沿着偏振片的透光轴方向,就会穿透;而如果垂直于透光轴方向,就不能穿透。

非偏振光线经过偏振片后成为线偏振光,偏振光线垂直于透光轴方向时不能穿透。图片来源:jasonpotvin.wordpress.com

为简单起见,我们考虑某个垂直入射偏振片的线偏振光子。假设在偏振片上定义一个xy平面,光子的线偏振沿着θ方向。我们将这个偏振量子态记作|θ>。

现在我们先假设偏振片的透光轴沿着x方向。为了计算光子透过偏振片的几率,可以把光子原来的量子态分解如下:

|θ>=cosθ|↔>+ sinθ|↕>    (1)

其中|↔>与|↕> 互相正交,|↔>代表光子偏振方向沿着x方向,即目前偏振片的透光轴,|↕>代表光子偏振方向沿着y方向,即垂直于偏振片的透光轴。

光子入射偏振片,量子态变得非此基矢态即彼基矢态,要么变成|↔>,从而透过偏振片;要么变成|↕>, 从而不能通过偏振片。 前者的几率是θ,后者的几率是θ。几率等于展开式(1)式右侧各基矢态前面的系数(通常称作展开系数)的模的平方。这是由量子态决定几率的基本规则。这些系数的模的平方之和等于1,因为各种可能的几率之和应该是1。 因此,光子穿透偏振片的几率是θ,穿透后的量子态变为|↔>。

现在我们改变一下偏振片的方位,将它逆时针转动45度,然后再将处于同样偏振量子态|θ>的光子入射。现在将光子的量子态|θ>作如下分解比较方便:

|θ>=cosθ'|↗>+ sinθ'|↖>    (2)

其中θ'= θ-45度,|↗>代表光子偏振方向沿着45度方向,即目前偏振片的透光轴。|↖>代表光子偏振方向沿着135度方向,即垂直于偏振片目前的透光轴。可以看出,对于目前的偏振片透光轴方向,光子穿透偏振片的几率是θ, 穿透后的量子态成为|↗> 。 

事实上, 式(1)也适用于|↗>和|↖>, 分别对应于θ=45度和θ=135度,也就是说, 

|↗>=(|↔>+|↕>)/r,     (3a)

|↖>= (-|↔>+|↕>)/r.    (3b)

反过来就是

|↔>=(|↗>-|↖>)/r,      (4a)

|↕> =(|↗>+|↖>)/r.      (4b)

r代表根号2,即r*r=2。后两式也可以分别通过将和带入(2)式得到。

也有复杂一点的测量方法,可以做到测量一个光子的偏振态而且不失去它。比如,借助于一个双折射晶体和两个偏振片,使得每个光子都能随机地从一个偏振片透射出来,非此即彼,每个偏振片分别对应于一个基矢态。下面所讨论的对偏振态的测量就是这样。为了简单起见,这里不赘述细节。

一般来说,一个量子态用基矢态展开,比如圆偏振态用线偏振基矢态展开,展开系数是复数。但是为简单起见,本文所用的例子中,展开系数都是实数。

对于不同的物理性质有不同的量子态。比如偏振是一个物理性质,动量是另一个物理性质。如果不同的物理性质之间没有耦合,相应的量子态也没有耦合,只需要考察相关的量子态。比如在上面这个例子里,关于光子的动量或者位置当然也有量子态,但是与我们关心的偏振现象没有关系,所以不去关心。

在测量之前,量子态随时间的演化是由一个动力学方程决定的,这个方程被称作薛定谔(E. Schrödinger)方程,因为历史上第一个例子(描写氢原子中的电子)是由薛定谔提出的。与相关物理性质有关的能量是一个常数时,相应的量子态在测量之前就不变。

在量子力学里,量子态、几率分布以及物理量的期望值都可以有决定论的动力学演化,但是这改变不了量子力学的几率本质,因为在每个量子态上,作一个物理量的测量,都有一个内在随机性。

那么什么情况下用经典物理,什么情况下必须用量子力学?它们的分界线在哪里?严格来说,这是一个没有完全解决的问题。

对于具体的实际情况,一般能够判断。比如,一般来说,小分子层次以下的微观粒子必须要用量子力学,而我们周围的宏观物体服从经典物理。但是随着实验技术的进步,越来越大的物体表现出量子效应。所以有可能所有的物质本质上都服从量子力学,只是在环境的作用下,表观上显示出经典物理。但是也有可能量子力学的适用范围是有限的。我认为,按物理学目前的水平来说,这两种可能都是存在的。(编辑:Jerrusalem)

The End

发布于2016-12-13, 本文版权属于果壳网(guokr.com),禁止转载。如有需要,请联系果壳 。

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